中国剩余定理(CRT)


前置知识

乘法逆元

物不知数

问题:计算一个整数 x ,使得它满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

如果能够找到三个整数 x1,x2,x3 ,使得:

x1 除以3余2、除以5余0、除以7余0;

x2 除以3余0、除以5余3、除以7余0;

x3 除以3余0、除以5余0、除以7余2;

那么令 x=x1+x2+x3,就很容易验证这时的 x 就满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

分别称找到整数 x1,x2,x3 的问题为问题1、问题2、问题3。可以看出这三个问题本质上是类似的。

下面对问题1-1继续分解,如果能够找到一个整数 y1 满足 y1 除以3余1、除以5余0、除以7余0,那么令 x1=y1*2 ,就很容易验证这时的 x1 就满足除以3余2、除以5余0、除以7余0。

因此定义

问题1为:寻找整数 y1 满足 y1 除以3余1、除以5余0、除以7余0;

问题2为:寻找整数 y2 满足 y2 除以3余0、除以5余1、除以7余0;

问题3为:寻找整数 y3 满足 y3 除以3余0、除以5余0、除以7余1。

这三个问题本质上是相同的。

如果找到了 y1,y2,y3 ,那么就可以取 x=2*y1+3*y2+2*y3

问题1进行解析

易知可以通过乘法逆元求解 y1

则将此方法进行一般性推广,得到下列证明:

数学证明

中国剩余定理证明

代码

int ExGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int ans=ExGcd(b,a%b,x,y);
	int t=y;
	y=x-(a/b)*y;
	x=t;
	return ans;
}
int inv(int a,int p)//无解返回 -1 
{
	int x,y;
	if(ExGcd(a,p,x,y)!=1) return -1;
	return (x%p+p)%p;//正数化 
}
int CRT(int a[],int m[],int n)
{
	int N=1,x=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) N*=m[i];
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		int r=N/m[i];
		x+=(r * inv( r , m[i] ) * a[i])%N;
	}
	return x%N;
}

练手题

UVA756 Biorhythms

P1495 【模板】中国剩余定理(CRT)/ 曹冲养猪


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