NOIP2017 小凯的疑惑

分析

对于不定方程 $a x + b y = m$ , 其有整数解的充要条件为 $gcd (a,b)∣m$

由于 本题 a,b 满足$gcd(a,b)=1$，则每个数均有整数解。

但由于本题要求的数是：最大的没有非负整数解的非负整数，即 $x*y\leq 0$

则易得，最优解为:$x=-1 \;或 \;y=-1$。

下面进行分类讨论

1. $x=-1$

   当 $y\geq a$ 时，$ax+by=ax+b(y-a+a)=a(x+b)+b(y-a)$，可以将 $y-a\;和\;x+a$ 用 $y,x$ 替换,则可求得 $y\in (0,a-1)$

   则满足的最大数 k，$k=-a+b(a-1)=ab-a-b$

2. $y=-1$

当 $x\geq b$ 时，$ax+by=a(x-b+b)+by=a(x-b)+b(y+a)$，可以将 $y+a\;和\;x-b$ 用 $y,x$ 替换,则可求得 $x\in (0,b-1)$

则满足的最大数 k，$k=a(b-1)+(-b)=ab-a-b$

综上所述最大数为: $ab-a-b$

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<(1ll*a*b)-a-b;
}