NOIP2017 小凯的疑惑


分析

对于不定方程 $a x + b y = m$ , 其有整数解充要条件为 $gcd (a,b)∣m$

由于 本题 a,b 满足$gcd(a,b)=1$,则每个数均有整数解

但由于本题要求的数是:最大的没有非负整数解的非负整数,即 $x*y\leq 0$

则易得,最优解为:$x=-1 \;或 \;y=-1$。

下面进行分类讨论

  1. $x=-1$

    当 $y\geq a$ 时,$ax+by=ax+b(y-a+a)=a(x+b)+b(y-a)$,可以将 $y-a\;和\;x+a$ 用 $y,x$ 替换,则可求得 $y\in (0,a-1)$

    则满足的最大数 k,$k=-a+b(a-1)=ab-a-b$

  2. $y=-1$

当 $x\geq b$ 时,$ax+by=a(x-b+b)+by=a(x-b)+b(y+a)$,可以将 $y+a\;和\;x-b$ 用 $y,x$ 替换,则可求得 $x\in (0,b-1)$

则满足的最大数 k,$k=a(b-1)+(-b)=ab-a-b$

综上所述最大数为: $ab-a-b$

代码

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int a,b;
	cin>>a>>b;
	cout<<(1ll*a*b)-a-b;
}

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