整除

整除

定义

若存在整数 c，使 $b=a*c$ ,则称 b 可被 a 整除，记作 $a|b$，即 a 是 b 的因子

性质

1. 若 $a|b$ 且 $b|c$ ,那么 $a|c$
2. $a|b$ 且 $a|c$ ,则对于任意整数 x, y 有 $a|(bx+cy)$
3. 设 $m\not= 0$，那么 $a|b$ 等价于$(ma)|(mb)$
4. 设整数 x,y 满足 $ax+by=1$，且 $a|n,b|n$，则 $(a*b)|n$
5. 若 $b=q*d+c$，那么 $d|b$ 的充要条件是 $d|c$

实用知识

1. 若 $2^k$ 可以整除 a 的最后 k 位，则 $2^k|a$
2. 若 3 可整除 a 的各位数字之和，则 $3|a$
3. 若 9 可整除 a 的各位数字之和，则 $9|a$
4. 若 11 能整除 a 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差，则 $11|a$
5. 能被 7、11、13 整除的数字特征：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7、11、13 整除（递归了）