整除


整除

定义

若存在整数 c,使 $b=a*c$ ,则称 b 可被 a 整除,记作 $a|b$,即 a 是 b 的因子

性质

  1. 若 $a|b$ 且 $b|c$ ,那么 $a|c$
  2. $a|b$ 且 $a|c$ ,则对于任意整数 x, y 有 $a|(bx+cy)$
  3. 设 $m\not= 0$,那么 $a|b$ 等价于$(ma)|(mb)$
  4. 设整数 x,y 满足 $ax+by=1$,且 $a|n,b|n$,则 $(a*b)|n$
  5. 若 $b=q*d+c$,那么 $d|b$ 的充要条件是 $d|c$

实用知识

  1. 若 $2^k$ 可以整除 a 的最后 k 位,则 $2^k|a$
  2. 若 3 可整除 a 的各位数字之和,则 $3|a$
  3. 若 9 可整除 a 的各位数字之和,则 $9|a$
  4. 若 11 能整除 a 的偶数位数字之和与奇数位数字之和的差,则 $11|a$
  5. 能被 7、11、13 整除的数字特征:这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成数之差能被 7、11、13 整除(递归了)

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